2. С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» проводит конкурс, согласно которому каждая десятая бутылка напитка, выпущенная фирмой, является призовой. Составить закон распределения числа призовых из четырех приобретенных покупателем бутылок. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить функцию распределения.

Вопрос школьника по предмету Математика

2. С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» проводит
конкурс, согласно которому каждая десятая бутылка напитка, выпущенная
фирмой, является призовой.
Составить закон распределения числа призовых из четырех
приобретенных покупателем бутылок.
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной
величины. Построить функцию распределения.

Ответ учителя по предмету Математика

Схема Бернулли.

Есть набор из n = 4 независимых случайных событий, происходящих с вероятностью p = 0.1 (и не происходящих с вероятностью q = 1 — p = 0.9).

Тогда вероятность, что событие произойдёт ровно k раз, равна

P(k) = C_n^k p^k q^(n — k), где C_n^k — биномиальный коэффициент из n по k.

P(0) = 1 * 1 * 0.9^4 = 0.6561

P(1) = 4 * 0.1 * 0.9^3 = 0.2916

P(2) = 6 * 0.1^2 * 0.9^2 = 0.0486

P(3) = 4 * 0.1^3 * 0.9 = 0.0036

P(4) = 1 * 0.1^4 * 1 = 0.0001

E[k] = 0 * P(0) + 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3) + 4 * P(4) = 0.4 (это совпадает с pn, как и должно быть)

E[k^2] = 0 * P(0) + 1 * P(1) + 4 * P(2) + 9 * P(3) + 16 * P(4) = 0.52

D[k] = E[k^2] — E[k]^2 = 0.52 — 0.4^2 = 0.36 (это совпадает с npq, как и должно быть)

(Интегральная) функция распределения F(x) равна вероятности, что k <= x

F(x) = 0 при x < 0

F(x) = 0.6561 при 0 <= x < 1

F(x) = 0.6561 + 0.2916 = 0.9477 при 1 <= x < 2

F(x) = 0.9477 + 0.0486 = 0.9963 при 2 <= x < 3

F(x) = 0.9963 + 0.0036 = 0.9999 при 3 <= x < 4

F(x) = 1 при x >= 4