Точка S рівновіддалена від усіх сторін прямокутного трикутника, катет і гіпотенузи якого відповідно дорівнюють 4 см і 5 см, і віддалена від площини трикутника на відстань 11 см. Обчисліть відстань від точки S до сторін трикутника.

Вопрос школьника по предмету Математика

Точка S рівновіддалена від усіх сторін прямокутного трикутника, катет і гіпотенузи якого відповідно дорівнюють 4 см і 5 см, і віддалена від площини трикутника на відстань 11 см. Обчисліть відстань від точки S до сторін трикутника.

Ответ учителя по предмету Математика

З’єднуємо S з вершинами трикутника — виходить піраміда з висотою SO=11, при чому O є проекцією S на площину трикутника, тому точка О теж є рівновіддаленою від сторін трикутника, а отже вона є центром вписаного кола. З’єднуємо О з будь-якою вершиною трикутника і цей відрізок буде радіусом вписаного кола, який разом із відрізком відстані від S до сторони та висотою піраміди утворить прямокутний трикутник, де відстань від S до сторони буде гіпотенузою. Знайдемо радіус через формули площі трикутника основи, тобто півдобуток катетів буде рівний добутку половини периметра на радіус вписаного кола. Підставимо в теорему піфагора отримане значення та знайдемо потрібну відстань