1) Значение арифметического выражения: 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи ? 2) Значение арифметического выражения: 3∙16^8 – 4^5 + 3 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Вопрос школьника по предмету Информатика

1) Значение арифметического выражения: 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи ?
2) Значение арифметического выражения: 3∙16^8 – 4^5 + 3 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Ответ учителя по предмету Информатика

1) 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 (см. рис)

Приведём все числа к степеням тройки, учитывая, что

25 = 27-2 = 3^3-2∙3^0

27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 = (3^3)^4 — (3^2)^5 + 3^8 — 3^3 + 2∙3^0 = 

(3^12 — 3^10) + (3^8 — 3^3) + 2∙3^0

Найдем значение разности в первой скобке, учитывая что 12-ая степени тройки в троичной системе это 1000000000000(3), а 10-ая степень — это 10000000000(3)

 1000000000000(3)

—

   10000000000(3)

——————

  220000000000(3)

Т.е. в троичной записи 12–10 = 2 «двойки» и 10 «нулей».

Вычислим аналогично вторую скобку:

 100000000(3)

—

      1000(3)

——————

  22222000(3)

Т.е. в троичной записи 8–3 = 5 «двоек» и 3 «нуля».

Таким образом, общее количество двоек = 2+5+1 = 8

2) 3∙16^8 – 4^5 + 3 (см. рис)

Приведём все числа к степеням четверки:

3∙16^8 – 4^5 + 3 = 3∙(4^2)^8 – 4^5 + 3∙4^0 = 3∙4^16 – 4^5 + 3∙4^0

Найдем значение разности, учитывая что 3∙4^16 в системе счисления с основанием 4 это одна «тройка» и 16 «нулей», а 4^5 — это одна «единица» и 5 «нулей»:

 30000000000000000(4)

—

            100000(4)

 ———————

 23333333333300000(4) (одна «двойка», 11 «троек» и 5 «нулей»)

Таким образом, общее количество троек = 11+1 = 12