трикутник ABC задано координатами
вершин А ( -2;3) В ( 4;0) C ( 4;5). Знайдіть
довжину висоти CD трикутника ABC, якщо
відомо, що ордината точки D удвічі
менша від її абсциси

Вопрос школьника по предмету Геометрия

трикутник ABC задано координатами
вершин А ( -2;3) В ( 4;0) C ( 4;5). Знайдіть
довжину висоти CD трикутника ABC, якщо
відомо, що ордината точки D удвічі
менша від її абсциси

Ответ учителя по предмету Геометрия

Уравнение прямой АВ — это уравнение прямой, проходящей через точки

А(-2;3) и В(4;0)

(X-Xa)/(Xс-Xa)=(Y-Ya)/(Yс-Ya) или

(X+2)/6=(Y-3)/(-3) => 3x+6y-12=0

Общее уравнение прямой АС имеет вид: Аx+Вy+С=0

В нашем случае уравнение прямой АС имеет коэффициенты:

А=3, В=6 и С=-12.

Из уравнения прямой АВ «снимаем» вектор нормали: n(3;6), который и будет направляющим вектором прямой СD (перпендикуляра к АВ).

Уравнение прямой СD составим по точке С(4;5)  и направляющему вектору n(3;6):

(x-4)/3=(y-5)/6 или 6x-3y-9=0 или 2х-y-3=0.

Нам дано, что координаты точки D(x=2y;y).

Решаем систему двух уравнений подстановкой.

Получаем, что точка D(2;1).

Тогда высота |СD|=√[(2-4)²+(1-5)²]=√(4+16)=2√5.

Ответ:CD=2√5.