Треугольники ABC и ABD равнобедренные, причем AC=BC=15 AB=18 ADB=90. Найдите косинус угла между плоскостями ABC и ABD, если CD=6

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Ответ: 7/8

Объяснение:

Пусть Н — середина АВ.

СН — медиана равнобедренного треугольника АВС, значит СН — высота, СН⊥АВ.

DH — медиана равнобедренного треугольника ABD, значит DH — высота.

DH⊥AB.

Следовательно, ∠CHD — линейный угол двугранного угла между плоскостями, искомый.

ΔСНВ: ∠СНВ = 90°, НВ = АВ/2 = 9; по теореме Пифагора

СН = √(СВ² — НВ²) = √(15² — 9²) = √(225 — 81) = √144 = 12

DH — медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, значит равна половине гипотенузы:

DH = AB/2 = 9

Из ΔCHD по теореме косинусов:

CD² = CH² + DH² — 2 · CH · DH · cos∠CHD

36 = 144 + 81 — 2 · 12 · 9 · cos∠CHD

216 · cos∠CHD = 189

cos∠CHD = 189 / 216 = 7/8