Помогите пожалуйста!
3. Для функции y=2x(в кубе)+6x(квадрат)-5 определить:
a. точки экстремума и интервалы монотонности;
b. точки перегиба и интервалы выпуклости.

Ответ учителя по предмету Математика

Для нахождения экстремумов найдем производную функции и приравняем ее нулю:

y`(x) = 6x^2 + 12x = 0

6x(x+2) = 0, тогда x1 = 0, x2 = -2 — критические точки.

Найдем вторую производную:

y«(x) = 12x + 12

y«(0) = 12 — локальный минимум.

y«(-2) = -24 + 12 = -12 — локальный максимум.

Точки делят числовую прямую на 3 интервала:

1) (-беск;-2)

2)(-2;0)

3)(0;+беск)

Определим интервалы монотонности, подставив значения интервалов в первую производную и определим ее знак:

1)+

2)-

3)+

б) 

Необходимое условие перегиба — вторая производная равна 0 или не существует:

12x + 12 = 0

x = -1

Достаточное условие: вторая производная при переходе через точку меняет знак: очевидно, что когда х < -1, то знак отрицательный, а при x > -1 — положительный.

х = -1 — точка перегиба.

На интервале (-беск;-1) 2 производная < 0, т.е. функция на нем выпуклая, а на интервале (-1;беск) 2 производная > 0, функция вогнутая.