Доказать, что если x1 >=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0, то их среднее арифметическое больше или равно корню четвёртой степени из их произведения

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Доказать, что если x1 >=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0, то их среднее арифметическое больше или равно корню четвёртой степени из их произведения

Ответ учителя по предмету Алгебра

В общем виде это знаменитое неравенство Коши о том что среднее геометрическое не превосходит среднего арифментического для положительных чисел и равняется при равенстве чисел

(a₁+a₂+a₃+…..+aₓ)/x ≥ ˣ√ (a₁a₂a₃…..aₓ)

a₁ …… aₓ ≥0

докажем сначала для 2-х

(a₁+a₂)/2 ≥ √a₁a₂

a₁+a₂≥ 2√a₁a₂

a₁+a₂ — 2√a₁a₂ ≥ 0

(√a₁ — √a₂) ≥ 0 квадрат всегда больше равен 0

докажем на основании этой теоремы что

(a₁+a₂+a₃+a₄)/4 ≥ ⁴√a₁a₂a₃a₄

теперь рассмотрим некие преобразования 

[ (a₁+a₂)/2 + (a₃+a₄)/2 ] / 2 ≥ √ ((a₁+a₂)/2) * ((a₃+a₄)/2)

(a₁+a₂+a₃+a₄)/4 ≥ √ ((√a₁a₂)* (√a₃a₄) = √√(a₁a₂a₃a₄)=⁴√(a₁a₂a₃a₄) чтд

————————————

можно доказать в общем для n переменных по методу математической индукции

вышеуказанный метод модно применять для степеней 2 для 2 4 8 16 итд членов