Данный отрезок имеет концы на двух перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол в 30 градусов,А с другой 45 градусо.Длина этого отрезка равна а.Найти расстояние между основаниями перпендикуляров,опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Данный отрезок имеет концы на двух перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол в 30 градусов,А с другой 45 градусо.Длина этого отрезка равна а.Найти расстояние между основаниями перпендикуляров,опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Пусть данный отрезок АВ, плоскости α и β, А∈α,  В∈β .

Проведем ВС ⊥ α и АМ ⊥ β. Так как плоскости α и β взаимно перпендикулярны, то С и М лягут на линию их пересечения. 

АС — проекция АВ на α, 

АМ — проекция АВ на  β.

      Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на плоскость. 

ВС  ⊥ плоскости α, следовательно, перпендикулярна любой прямой, проходящей через т.С, ⇒ АС ⊥ ВС.

В ∆ АВС  угол С=90°, тогда ВС=АВ•sin30°=a/2.

АМ⊥плоскости β, ⇒ перпендикулярна любой прямой, проходящей через М. 

 В ∆ АМВ угол АВМ=45°,  след.  ВМ=АВ•cos45°=(a√2)/2

Из прямоугольного ∆ АМС ( угол М=90°)  по т.Пифагора 

МС=√(МВ²-АС²)=√[(a√2)/2)² -(a/2)²]  ⇒ 

MC=√(a²/4)=a/2