Высота основания правильной тре- угольной пирамиды составляет три четверти высоты пирамиды. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Высота основания правильной тре- угольной пирамиды составляет три четверти высоты пирамиды. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Пусть SABC — правильная треугольная пирамида с вершиной S. В оновании данной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник ABC. Высота пирамиды SO опущена в центр основания — центр треугольника ABC, который также является центром описанной окружности с радиусом R. 

Расстояние от любой вершины треугольника  ABC до центра O равно R= a√3/3, где а — сторона треугольника.⇒ AO=a√3/3

Высота треугольника h (ABC) = a√3/2, где а — сторона треугольника.

h (ABC) составляет 3/4 высоты пирамиды (SO)

h(АBC) = 3/4 * SO

SO = 4/3 * h (ABC) = 4/3 * a√3/2 = 2*a√3/3

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOS. Угол AOS=90 град, тк SO — высота. Ребро пирамиды AS — гипотенуза, SO и AO — катеты. 

Тангенс искомого угла SAO равен отношению противолежащего катета SO к прилежащему катету AO

                      2*a√3/3

tg(SAO) = —————— = 2

                         a√3/3 

что приблизительно соответствует углу 63°30′ (по таблице Брадиса)⇒ такой прямоугольный треугольник существует