АВСD — прямоугольник, М — середина АВ, N — середина ВС, К — середина СD, P — середина AD. Доказать, что MNKP — ромб.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

АВСD — прямоугольник, М — середина АВ, N — середина ВС, К — середина СD, P — середина AD. Доказать, что MNKP — ромб.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Доказательство:

1. Проведём диагональ АС.

Т.к. М — середина АВ и N — середина BC, то MN — средняя линия ΔАВС, тогда МN || АС, MN = 1/2 АС

2.Т.к. К — середина СD и Р — середина AD, то PK — средняя линия ΔАСD, тогда РК || АС, РК = 1/2 AC.

3.Т.к. MN || AC, PK || AC, MN = 1/2 AC= PK, то MN || PK и MN = PK, значит MNKP — параллелограмм.

4.Т.к. АВСD — прямоугольник, то угол А = углу В = углу С = углу D = 90° , PA = PD = NC = BN , MB = AM = CK = KD, значит ΔМАР = ΔMBN = ΔKCN = ΔKDP (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует:

MN = NK = KP = PM, значит MNKP — ромб.