|x^2+3x-40|+|-x^2-8x+20|=5x+20 корни уравнения

Вопрос школьника по предмету Алгебра

|x^2+3x-40|+|-x^2-8x+20|=5x+20 корни уравнения

Ответ учителя по предмету Алгебра

Найдем значения, в которых модули равны 0.

x^2+3x-40 = (x + 8)(x — 5) = 0

-x^2 — 8x + 20 = -(x — 2)(x + 10) = 0

Особые точки: -10, -8, 2, 5

Получаем такие варианты:

1) При x < -10 будет |x^2+3x-40| = x^2+3x-40; |-x^2-8x+20| = x^2+8x-20

x^2+3x-40+x^2+8x-20 = 5x+20

2x^2+6x-80 = 0

x^2+3x-40 = 0

(x + 8)(x — 5) = 0

x1= -8; x2 = 5 — оба корня больше -10, нам не подходит.

2) При x ∈ [-10; -8) будет |x^2+3x-40| = x^2+3x-40; |-x^2-8x+20| = -x^2-8x+20

x^2+3x-40-x^2-8x+20 = 5x+20

-5x-20 = 5x+20

10x = -40; x = -4 > -8 — не подходит.

3) При x ∈ [-8; 2) будет |x^2+3x-40| = -x^2-3x+40; |-x^2-8x+20| = -x^2-8x+20

-x^2-3x+40-x^2-8x+20 = 5x+20

-2x^2-16x+40 = 0

x^2 + 8x — 20 = (x — 2)(x + 10) = 0

x1 = -10 < -8; x2 = 2 — оба корня нам не подходят.

4) При x ∈ [2; 5) будет |x^2+3x-40| = -x^2-3x+40; |-x^2-8x+20| = x^2+8x-20

-x^2-3x+40+x^2+8x-20 = 5x+20

5x + 20 = 5x + 20

Это верно для любых x ∈ [2; 5)

5) При x >= 5 будет |x^2+3x-40| = x^2+3x-40; |-x^2-8x+20| = x^2+8x-20

x^2+3x-40+x^2+8x-20 = 5x+20

2x^2+6x-80 = 0

x^2+3x-40 = (x+8)(x-5) = 0

x1 = -8 < 5 — не подходит; x2 = 5 — подходит.

Ответ: x ∈ [2; 5]