8. В  правильную  четырехугольную  усеченную  пирамиду  ABCDA’B’C’D’,  площадь верхнего  основания  которой  A’B’C’D’  в  9  раз  меньше  площади  нижнего  основания ABCD, вписан шар радиуса 1. Найти площадь основания ABCD. 

Вопрос школьника по предмету Математика

8. В  правильную  четырехугольную  усеченную  пирамиду  ABCDA’B’C’D’,  площадь верхнего  основания  которой  A’B’C’D’  в  9  раз  меньше  площади  нижнего  основания ABCD, вписан шар радиуса 1. Найти площадь основания ABCD. 

Ответ учителя по предмету Математика

Если площади оснований относятся как 9:1, то их стороны относятся как 3:1.

Пусть А₁В₁ = х, тогда АВ = 3х.

Рассмотрим сечение KK₁M₁M, проходящее через середины соответствующих ребер. Сечение шара — круг, вписанный в равнобедренную трапецию, значит, суммы ее противоположных сторон равны. Т. е. KM = 3x, K₁M₁ = x, KK₁ = MM₁ = 2x. M₁H = 2 (диаметр шара)

MH = (KM — K₁M₁)/2 = x

ΔM₁HM: MM₁² = MH² + M₁H²

               (2x)² = x² + 4

               3x² = 4

                x = 2√3/3

AB = 3x = 2√3

Sabcd = AB² = 12