43 баллов за ответ с решениями: 1. Найдите число членов геометрической прогрессии, в которой первый, второй и последний члены равны соответственно 2, 10 и 1250. 2. Дана геометрическая прогрессия {dn}. Найдите сумму первых пяти ее членов, если d1-d2=20, а d3-d2=60 3. При каком положительном значении а последовательность чисел 3+2a; 7a; 8a+12 образует геометрическую прогрессию?

Вопрос школьника по предмету Алгебра

43 баллов за ответ с решениями:
1. Найдите число членов геометрической прогрессии, в которой первый, второй и последний члены равны соответственно 2, 10 и 1250.
2. Дана геометрическая прогрессия {dn}. Найдите сумму первых пяти ее членов, если d1-d2=20, а d3-d2=60
3. При каком положительном значении а последовательность чисел 3+2a; 7a; 8a+12 образует геометрическую прогрессию?

Ответ учителя по предмету Алгебра

1. q = b2/b1 = 10/2 = 5

По определению геометрической прогрессии:

bn = b1qⁿ-¹

1250 = 2•5ⁿ-¹

625 = 5ⁿ-¹

5⁴ = 5ⁿ-¹

4 = n — 1

n = 5.

Ответ: 5.

2. d1 — d2= 20

d3 — d2 = 60

d1 — d1q = 20

d1q² — d1q = 60

d1(1 — q) = 20

d1(q² — q) = 60

d1 = 20/(1 — q)

d1 = 60/(q² — q)

20/(1 — q) = 60/(q² — q)

20(q² — q) = 30(1 — q)

q² — q = 3 — 3q

q² + 2q — 3 = 0

q1 + q2 = -2

q1•q2 = -3

q1 = -3

q2 = 1 — не подходит по условию задачи

d1 + 3d1 = 20

4d1 = 20

d1 = 5

S5 = d1(qⁿ — 1)/(q — 1) = 5((-3)^5 — 1)/(-3 — 1) = 5(-243 — 1)/(-4) = 5•244/4 = 305.

Ответ: 305.

3. Используем основное свойство геометрической прогрессии:

bn² = bn-1•bn+1 (член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому соседних с ним членов).

(3 + 2a)(8a + 12) = (7a)²

24a + 36 + 16a² + 24a = 49a²

49a² — 16a² — 48a — 36 = 0

33a² — 48a — 36 = 0

11a² — 16a — 12 = 0

D = 256 + 4•12•11 = 784 = 28²

a1 = (16 + 28)/22 = 44/22 = 2

a2 = (16 — 28)/22 < 0 (не уд. условию задачи)

Значит, при а = 2 последовательность чисел образует геометрическую прогрессию.

Ответ: при а = 2.