100 БАЛЛОВ! ПОЖАЛУЙСТА ! СРОЧНО! ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ! Найдите площадь равнобедренной трапеции, если угол между ее диагоналями равен 60 градусов, а высота проведенная к большему основанию делит его на два отрезка, больший из которых равен √(3).

Вопрос школьника по предмету Геометрия

100 БАЛЛОВ! ПОЖАЛУЙСТА ! СРОЧНО! ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ!
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если угол между ее диагоналями равен 60 градусов, а высота проведенная к большему основанию делит его на два отрезка, больший из которых равен √(3).

Ответ учителя по предмету Геометрия

Ответ:

S = √3 ед².

Объяснение:

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке О.  

В равнобедренном треугольнике ВОС угол ВОС = 120°, как смежный с углом АОВ, который равен 60° по условию. Тогда ∠ОСВ = 30°, как угол при основании равнобедренного треугольника. ∠CAD = 30°, как накрест лежащий с ∠ОСВ = 30° при параллельных прямых AD и ВС и секущей АС.

В прямоугольном  треугольнике АСН катет СН лежит против угла 30 градусов => АС = 2·СН. АН = √3. Тогда по Пифагору  

(2·СН)² — СН² = АН² или 3·СН² = 3. =>  СН = 1 ед.

Отрезок АН равен полусумме оснований (свойство высоты, опущенной на большее основание равнобедренной трапеции, которая делит это основание на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований).   Итак, полусумма оснований равна √3 (дано). Тогда площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть: √3·1 = √3 ед².