1. Решите уравнение: a) |x-1|+2|x-3|=5-x
b) |x-1|=x^3-3x^2+x+1
2. Решите неравенство: (|x-3)|/(|x-2|-1)>=1

Учитывайте, пожалуйста, свойства модулей

Вопрос школьника по предмету Алгебра

1. Решите уравнение: a) |x-1|+2|x-3|=5-x
b) |x-1|=x^3-3x^2+x+1
2. Решите неравенство: (|x-3)|/(|x-2|-1)>=1

Учитывайте, пожалуйста, свойства модулей

Ответ учителя по предмету Алгебра

1. a) |x — 1| + 2|x — 3| = 5 — x

Если x < 1, то |x — 1| = 1 — x, |x — 3| = 3 — x

1 — x + 2(3 — x) = 5 — x

1 — x + 6 — 2x = 5 — x

1 + 6 — 5 = x + 2x — x

2x = 2; x = 1 — не подходит, потому что x < 1

Если x ∈ [1; 3), то |x — 1| = x — 1; |x — 3| = 3 — x

x — 1 + 2(3 — x) = 5 — x

x — 1 + 6 — 2x = 5 — x

5 — x = 5 — x

Это верно при любом x ∈ [1; 3)

Если x >= 3, то |x — 1| = x — 1; |x — 3| = x — 3

x — 1 + 2(x — 3) = 5 — x

x — 1 + 2x — 6 = 5 — x

3x + x = 5 + 6 + 1

4x = 12

x = 3

Ответ: x ∈ [1; 3]

b) |x — 1| = x^3 — 3x^2 + x + 1

Если x < 1, то |x — 1| = 1 — x

1 — x = x^3 — 3x^2 + x + 1

0 = x^3 — 3x^2 + 2x

x(x — 1)(x — 2) = 0

x1 = 0 < 1 — подходит

x2 = 1; x3 = 2 > 1 — оба не подходят.

Если x >= 1, то |x — 1| = x — 1

x — 1 = x^3 — 3x^2 + x + 1

0 = x^3 — 3x^2 + 2

x^3 — x^2 — 2x^2 + 2x — 2x + 2 = 0

(x — 1)(x^2 -2x — 2) = 0

x1 = 1 — подходит.

x^2 — 2x — 2 = 0

D = 2^2 — 4*(-2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)^2

x2 = (2 — 2√3)/2 = 1 — √3 < 1 — не подходит

x3 = (2 + 2√3)/2 = 1 + √2 > 1 — подходит

Ответ: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1 + √2

2. (|x — 3|) / (|x — 2| — 1) >= 1

Если x < 2, то |x — 2| = 2 — x; |x — 3| = 3 — x

(3 — x) / (2 — x — 1) >= 1

(3 — x) / (1 — x) = (x — 3) / (x — 1) >= 1

(x — 3 — x + 1) / (x — 1) = (-2) / (x — 1) >= 0

x — 1 < 0; x < 1 — это решение

Если x ∈ [2; 3), то |x — 2| = x — 2; |x — 3| = 3 — x

(3 — x) / (x — 2 — 1) = (3 — x) / (x — 3) = -1 >= 1 — неверно

x ∈ ∅

Если x >= 3, то |x — 2| = x — 2; |x — 3| = x — 3

(x — 3) / (x — 2 — 1) = (x — 3) / (x — 3) = 1 — это верно при любом x ≠ 3

x > 3 — это решение.

Ответ: x ∈ (-oo; 1) U (3; +oo)