1. В треугольнике abc вектор: А(10;-2;8) В(8;0;7) С (10;2;8). Вычислить Ртреугольника
2. Векторы: А(2;-4;5) В(4;-3;5) вычислить косинус угла между этими векторами.
3. Векторы: А(2;4;5) В(-3;2;2) С(-1;0;3). Доказать что вектор СА перпендикулярен вектору ВС

Ответ учителя по предмету Геометрия

1) Если в 
треугольнике АВС даны не векторы, а координаты его вершин А(10;-2;8) В(8;0;7) С (10;2;8), то находим длины сторон:

АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= √
9 = 3,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) =√
9 = 3,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = √
16 = 4.
Периметр равен 3+3+4 = 10.

2. Векторы: a(2;-4;5) b(4;-3;5).
Находим модули векторов:
|a| = √(4+16+25) = √45 = 3√5,

|b| √(16+9+25) = √50 = 5√2.

cos(a∧b) = (2*4+(-4)*(-3)+5*5)/(√45*√50) = (8+12+25)/√2250 =

              = 45/(15√10) = 3/√10 ≈ 
0,948683.     

 

 
3. Если даны координаты точек: А(2;4;5) В(-3;2;2) С(-1;0;3),
то вектор СА = (2+1=3; 4-0=4; 5-3=2) = (3; 4; 2),
    вектор ВС = (-1+3=2; 0-2=-2; 3-2=1) = (2; -2; 1).

Скалярное произведение а*c=ВС*СА
a · c = ax · cx + ay · cy + az · cz  = 6  — 8 + 2 = 0.
Если скалярное произведение векторов равно нулю, то они перпендикулярны.