Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке MM. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

Вопрос школьника по предмету Математика

Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке MM. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырехугольника PQRS.

Ответ учителя по предмету Математика

рассмотрим треугольники PMS и QMR/  Это прямоугольные треуг-ки, а угол PSQ=QRP, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. тогда укзанные треугольники подобны. Составим пропроции

PM/QM=PS/QR

 Отсюда найдем  PM=QM*PS/QR 

PM=10*13/25=5

 Теперь из прямоугольных треугольников PMS иQMR по теореме Пифагора найдем

MS=корень квадратный из(PS^2-PM^2)

MS=корень квадратный из (13^2-5^2)=12

MR=корень квадратный из (QR^2-QM^2)

MR=корень квадратный из(26^2-10^2)=24

QS=QM+MS

QS=10+12=22

PR=PM+MR

PR=5+24=29

 Площадь четырехугольника найдем по формуле

S=1/2QS*PRsina  a-угол между диагоналями (a=90град, sin90=1)

S=1/2*22*29=319

Ответ:S=319