Через вершину А прямоугольника АВСD проведена наклонная АМ к плоскости прямоугольника, составляющая углы Альфа со сторонами АD и АВ. Найдите синус угла между этой наклонной и данной плоскостью.

Вопрос школьника по предмету Математика

Через вершину А прямоугольника АВСD проведена наклонная АМ к плоскости прямоугольника, составляющая углы Альфа со сторонами АD и АВ. Найдите синус угла между этой наклонной и данной плоскостью.

Ответ учителя по предмету Математика

Пусть МО⊥(АВС).

Проведем ОН⊥AD и ОК⊥АВ.

ОН и ОК- проекции наклонных МН и МК на плоскость прямоугольника, тогда и МН⊥AD, МК⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

∠МАО = φ — угол между наклонной АМ и плоскостью прямоугольника,

∠МАН = ∠МАК = α — угол между наклонной АМ и сторонами AD и АВ прямоугольника.

ΔМАН = ΔМАК по гипотенузе и острому углу (АМ общая, ∠МАН = ∠МАК = α), значит АК = АН, и значит АКОН — квадрат и АО — его диагональ, а следовательно и биссектриса угла BAD.

Стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла.

Пусть а —  сторона квадрата АКОН.

Тогда АО = а√2, как диагональ квадрата.

ΔАМН: АМ = AН /  cosα = a / cos α

ΔAMO: cos φ = АO / AM =  a√2 / (a / cos α) = √2cos α

sin φ  = √(1 — cos²φ) = √(1 — 2cos²α) = √(- cos2α)