У конус вписано правельну трикутну піраміду зі стороною a і об*ємом V . Знайти обє*м конуса.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

У конус вписано правельну трикутну піраміду зі стороною a і об*ємом V . Знайти обє*м конуса.

Ответ учителя по предмету Геометрия

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний треугольник).

Объем правильной треугольной пирамиды V = 1/3 * Sп * Нп, где Sп — площадь основания пирамиды, Нп — высота пирамиды.

Sп = a² * √3/4, где а — сторона основания пирамиды

V = 1/3 * a² * √3/4 * Hп

Нп=12V / (a²√3)


Высота конуса совпадает с высотой пирамиды, вписанной в него. Основание конуса является окружностью, описанной вокруг основания пирамиды.
Hп = Hк = Н, где Нк — высота конуса


Объем конуса Vк= 1/3 * Sк * H, где Sк — площадь основания конуса

Площадь окружности, описанной вокруг правильного треугольника 

Sк = π* R², где R — радиус основания конуса (радиус окружности, описанной около правильного треугольника)

R = a / √3

                               π*a²

Sк = π * (a/√3)² = ———-

                                 3

Vк = 1/3 * π * a²/3 * 12V/(a²√3)

          1 * π * a² *12V          4 π V

Vк = ———————— = ———— ≈ 2,42 V

          3 * 3 * a² * √3            3√3