Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23. Желательно расписать решение подробно.

Вопрос школьника по предмету Информатика

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.
Желательно расписать решение подробно.

Ответ учителя по предмету Информатика

63ₓ = 3x⁰+2x¹+a₂x²+a₃x³+…

Понятно, что х>3, поскольку в системах счисления с x≤3 невозможно записать цифру 3.

Пусть x=4. x²=16, x³=64, …

Поскольку даже минимально возможное значение х в третьей степени превышает 63, можно утверждать, что степеней выше 3 в представлении числа 63 нет.

Следовательно, 63=ax²+2x+3, ax²+2x-60=0, x=4,5,6, …

Если х=8, то х²=64, поэтому для x>7 получаем а=0 и уравнение приобретает вид 2х-60=0 ⇒ х=30. Первое значение х найдено.

При х=4,5,6,7 получаем a=(60-2x)/x², a>0.

x=4 ⇒ a=(60-2×4)/4² = 52/16 = 4 — целое, подходит

x=5 ⇒ a=(60-2×5)/25 = 50/25 =2 — целое, подходит

x=6 ⇒ a=(60-2×6)/36 = 48/36 — нецелое

x=7 ⇒ a=(60-2×7)/49 = 46/49 — нецелое

Получили три значения x: 4, 5, 30

Проверим их.

1)х=4

63/4 = 15, остаток 3

15/4 = 3, остаток 2

3/4 = 0, остаток 3

Выписываем остатки в обратном порядке: 63=3
23₄

2) х=5

63/5 = 12, остаток 3

12/5 = 2, остаток 2

2/6 = 0, остаток 2

Выписываем остатки в обратном порядке: 63=2
23₅

3)х=30

63/30 = 2, остаток 3

2/30 = 0, остаток 2

Выписываем остатки в обратном порядке: 63=
23₃₀

Ответ: 4, 5, 30