Укажите номер наибольшего члена последовательности xn=(n−1)/(n^2+5), если n — натуральное число, меньшее 2015. Если таких членов несколько, то в ответе сумму их номеров.

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Укажите номер наибольшего члена последовательности xn=(n−1)/(n^2+5), если n — натуральное число, меньшее 2015. Если таких членов несколько, то в ответе сумму их номеров.

Ответ учителя по предмету Алгебра

Рассмотрим функцию f(t) = (t — 1)/(t^2 + 5). Она определена и непрерывна вместе со всеми производными на всей действительной оси.

f'(t) = ((t^2 + 5) — 2t(t — 1))/(t^2 + 5)^2 = (6 — (t — 1)^2)/(t^2 + 5)^2

f'(t) >= 0 при 1 — sqrt(6) <= t <= 1 + sqrt(6) — на этом отрезке она возрастает, вне него — убывает.

Тогда xn возрастает при n < 1 + sqrt(6), убывает при n > 1 + sqrt(6). Так как 3 < 1 + sqrt(6) < 4, то на роль максимального претендуют x3 и x4.

x3 = (3 — 1)/(3^2 + 5) = 2/14 = 1/7

x4 = (4 — 1)/(4^2 + 5) = 3/21 = 1/7

x3 = x4, значит, членов с максимальными значениями 2: n = 3 и n = 4. В ответ пойдёт 3 + 4 = 7.