треугольник ABC задан координатами своих вершин A(1;4) , B(-3;2) , С(-1;-3). а) Найдите косинус острого угла между медианой СМ и стороной АС. б)Вычислите СМ*МА — МС*АС

Вопрос школьника по предмету Геометрия

треугольник ABC задан координатами своих вершин A(1;4) , B(-3;2) , С(-1;-3). а) Найдите косинус острого угла между медианой СМ и стороной АС. б)Вычислите СМ*МА — МС*АС

Ответ учителя по предмету Геометрия

Заданы вершины треугольника 
A(1;4) , B(-3;2) , С(-1;-3).
Находим координаты точки М — это середина стороны АВ.
М((1+(-3))/2 = -1; (4+2)/2 = 3),
М(-1; 3).
Уравнение медианы СМ:
(х — (-1))/(-1 — (-1)) = (у — (-3))/(3 — (-3)),
(х+1)/0 = (у+3)/6
6х + 6 = 0
х = -1, это прямая, параллельная оси у.
Тогда угол 
между медианой СМ и стороной АС равен:
∠МСА = arc tg(1-(-1))/(4-(-3)) = arc tg(2/7) = 

= 
 0.2782997 радиан = 15.945396°.

Проверяем по свойствам векторов CM(0: 6) и СА(2; 7):

cosα = |x₁*x₂+y₁*y₂|/(√(x₁²+y₂²)*√(x₂²+y₂²)).

cosα = |0*2+6*7|/(√(0²+6²)*√(2²+7²) =

        = 42/(6*√53) = 7/√53 = 
 0.961524. 
Отсюда α = arc cos 
 0.961524 = 0.2783 радиан =
=15.9454 град.


2) Скалярное произведение векторов:

СМ*МА — МС*АС.

СМ(0; 6),
МА(2; 1)

СМ*МА = 0*2+6*1 = 6.

МС(0;-6),
АС(-2; -7),

МС*АС = 0*(-2) + (-6)*(-7) = 42.
Ответ: 
СМ*МА — МС*АС = 6 — 42 = -36.