Точка D-середина ребра PA, точка E-середина высоты PO правильного тетраэдра PABC. Найдите угол между прямыми OD и CE

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Точка D-середина ребра PA, точка E-середина высоты PO правильного тетраэдра PABC. Найдите угол между прямыми OD и CE

Ответ учителя по предмету Геометрия

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.

В нашем случае прямые ОD и СЕ — скрещивающиеся.

Треугольник АВС — правильный. Проведем медиану АН. Это и высота треугольника. Соединим точки Е и Н. Четырехугольник ОDЕН — параллелограмм по первому признаку: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом. В нашем случае ОН=DE, так как DЕ-средняя линия треугольника АРО и DE=(1/2)*АО. Но АН -медиана и АО=(2/3)АН (по свойству медиан), значит DE=(2/3)*(1/2)*АН=(1/3)*АН, ОН=(1/3)*АН (так как АН — медиана). Итак, ОН=DЕ и DЕ параллельна ОН, так как DЕ — средняя линия треугольника АРО (дано) и, следовательно, параллельна АО. Итак, ОDЕН — параллелограмм и ОD параллельна и равна НЕ. Тогда искомый угол межу прямыми ОD и СЕ — это угол СЕН. В прямоугольном треугольнике СЕН (<Н=90°) тангенс угла СЕН равен отношению СН/ЕН. СН=а/2 (половина стороны ВС тетраэдра), и ЕН=OD=а/2, так как ОD — медиана прямоугольного треугольника АОР, проведенная из вершины прямого утла. Таким образом, Тgα=1, а сам искомый угол равен 45°. Это ответ.