Сумма квадратов двух простых чисел оканчивается на 3. Найдите все такие простые числа?

Вопрос школьника по предмету Математика

Сумма квадратов двух простых чисел оканчивается на 3. Найдите все такие простые числа?

Ответ учителя по предмету Математика

p²+29=(p-1)(p+1)+30. Пусть p>3. Т.к. из трех последовательных чисел p-1, p, p+1 одно обязательно делится на 3, причем это число — не p, т.к. p — простое, значит (p-1)(p+1) делится на 3 и на 2 (т.к p+1 — четное). Значит, p²+29 делится на 6, т.е. имеет как минимум 5 делителей: 1,2,3,6 и само число p²+29, которое больше 6. Т.е. p>3 не подходят. Осталось проверить p=2 и p=3:

2²+29=33 имеет делители 1, 3, 11, 33. 

3²+29=38 имеет делители 1, 2, 19, 3

Таким образом, ответ: p=2 и p=3.