решить уравнение Sin3x+sinx/sinx-1=0

Вопрос школьника по предмету Алгебра

решить уравнение Sin3x+sinx/sinx-1=0

Ответ учителя по предмету Алгебра

sin3x +sinx/(sinx -1) =0 ;

ОДЗ : sinx ≠ 1  ⇔ x ≠π/2 +πn , n∈Z

sinx(3 -4sin²x) + 
sinx/(sinx -1) =0 ;
sinx*( 3 — 4sin²x +1/(sinx -1) ) =0 ;

a) sinx =0 ⇒ x =πn ; n∈Z.

b) 3 — 4sin²x +1
/(sinx -1)  =0 ;
4sin³x — 4sin²x -3sinx +2 =0 ;   * * *sinx =1/2 * * *

4sin³x — 2sin²x — 
2sin²x +sinx  —4sinx +2 =0 
; 
2sin²x(2sinx-1) -sinx(2sinx-1) -2(2sinx -1) =0 ;

(2sinx-1)(2sin²x -sinx -2) =0 ⇔[2sinx 1=0  ; 2sin²x -sinx -2 =0;

b₁) 

2sinx — 1=0 ;

sinx =1/2 ⇒ x= (-1)^n *π/6+πn , n∈Z.

 b₂)

2sin²x -sinx -2 =0 ; замена:   t =sinx ,    -1 ≤ t  ≤1

2t² — t -2 =0     D  =1² -4*2(-2) =(√17)² ;

t₁  = (1 + √17)/2*2  =(1 + 
√17)/4  > 1_не удовлетворяет
t₂ = (1 — √17) /4⇒
sinx = — (√17 -1)/4  ⇒

x =( -1)^(n+1)*arcsin (1 — √17) /4 +πn , n∈Z.

ответ :  
 x =πn; 
(-1)^(n) *π/6+πn ; ( -1)^(n+1)*arcsin (1 — √17) /4 +πn , n∈Z.