Решить задачу.
В трапеции ABCD (АD||BC) биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке М. Найдите длину отрезка АМ, если известно, что ВМ=8, ВС+АD=17,площади треугольников ACM и АDM равны

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Решить задачу.
В трапеции ABCD (АD||BC) биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке М. Найдите длину отрезка АМ, если известно, что ВМ=8, ВС+АD=17,площади треугольников ACM и АDM равны

Ответ учителя по предмету Геометрия

Биссектриса пересекает  продолжение ВС в точке Е. 
∆ АВЕ — равнобедренный ( ∠
ВЕА=∠
ЕАD как накрестлежащие,
а∠
 ВАЕ =∠
ЕАD – т.к. АЕ — биссектриса.) 
S ∆ ACM=MC•h/2
S ∆ AMD=DM•h/2.
Высота из А у обоих треугольников общая, следовательно, СМ=DM 
В ∆ МЕС и ∆ MAD  по два равных накрестлежащих угла, равные вертикальные углы и СМ=DM.
Эти треугольники равны по 2-му признаку.⇒
 АМ=ЕМ, СЕ=АD и ВЕ=ВС+АD=17. 
Т.к. ∆ АВЕ равнобедренный, АВ=ВЕ=17. 
 В  АВЕ М — середина основания АЕ, ВМ — его медиана и высота. ⇒

∆ АВМ — прямоугольный. 
По т. Пифагора из ∆ АВМ катет АМ=√(BА²
-BM²
)=√(17²
-8²
)=15 ед. длины.