Решите уравнение (x-3)√2-√x=x-3
2и 3 под одним корнем

Вопрос школьника по предмету Математика

Решите уравнение (x-3)√2-√x=x-3
2и 3 под одним корнем

Ответ учителя по предмету Математика

Не понял, что значит фраза на 2 строке.

Замена √x = y > 0 при любом x, потому что корень арифметический,

тогда x = y^2

(y^2 — 3)*√2 — y = y^2 — 3

y^2*(√2 — 1) — y — 3(√2 — 1) = 0

Получили квадратное уравнение, хоть и с необычными коэффициентами.

D = 1 — 4(√2-1)*(-3)(√2-1) = 1 + 12(√2-1)^2 = 1 + 12(3-2√2) = 37 — 24√2

y1 = √x = (1 — √(37 — 24√2)) / (2√2-2) < 0 — не подходит.

y2 = √x = (1 + √(37 — 24√2)) / (2√2-2) — подходит.

Избавимся от иррациональности в знаменателе.

y = (1 + √(37-24√2))(2√2+2) / (8-4) = (1 + √(37-24√2))(√2+1) / 2

x = y^2 = (1 + √(37-24√2))^2 * (√2+1)^2 / 4