Пусть mnmn — положительная несократимая дробь. На какое наибольшее число может быть сократима дробь 2m+3n/7m+2n

Вопрос школьника по предмету Математика

Пусть mnmn — положительная несократимая дробь. На какое наибольшее число может быть сократима дробь 2m+3n/7m+2n

Ответ учителя по предмету Математика

Пусть 2m + 3n = rp, 7m + 2n = rq, НОД(p, q) = 1, при этом дробь сократима на r.

Выражаем m, n через r, p, q:

m = (3q — 2p)*r/17

n = (7p — 2q)*r/17

По условию m/n — положительная несократимая дробь, поэтому НОД(m, n) = 1. Чтобы m, n были взаимно просты, r должно быть равно 1 (и 3q — 2p, 7p — 2q делятся на 17), или r = 17; в противном случае оба числа делятся на какой-то делитель r.

r = 17 будет, например, если m/n = 1/5, тогда (2m+3n)/(7m+2n)=17/17.