Прошу помочь нужно исследовать функцию и построить график. (По плану) 1) Область определения функции 2) четность или нечетность функции 3) Точки пересечения с осями координат 4) Нахождение производной функции 5) критические точки 6) промежутки возрастания и убывания функции 7) экстремумы функции 8) найти наибольшее или наименьшее значение 9) уравнение касательной к точке x0 = 1 10) Дополнительные точки 11) график 12) область значения функции ФУНКЦИЯ y(x)=2x+1/x+2

Вопрос школьника по предмету Математика

Прошу помочь нужно исследовать функцию и построить график. (По плану)
1) Область определения функции
2) четность или нечетность функции
3) Точки пересечения с осями координат
4) Нахождение производной функции
5) критические точки
6) промежутки возрастания и убывания функции
7) экстремумы функции
8) найти наибольшее или наименьшее значение
9) уравнение касательной к точке x0 = 1
10) Дополнительные точки
11) график
12) область значения функции

ФУНКЦИЯ y(x)=2x+1/x+2

Ответ учителя по предмету Математика

Дана функция y(x)=(2x+1)/(x+2)
.

1) Область определения функции: х ≠ -2.

2) четность или нечетность функции:
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).

Итак, проверяем:

frac{2 x + 1}{x + 2} = frac{- 2 x + 1}{- x + 2}

frac{2 x + 1}{x + 2} = — frac{- 2 x + 1}{- x + 2}

— Нет.

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Точки пересечения с осями координат.
График функции пересекает ось X при f = 0

значит надо решить уравнение:

frac{2 x + 1}{x + 2} = 0.

Решаем это уравнение: 2х + 1 = 0.  х = -1/2.

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:

подставляем x = 0 в (2*x + 1)/(x + 2).

frac{1}{2} left(0 cdot 2 + 1right)

Результат:

f{left (0 right )} = frac{1}{2}

Точка: 
(0, 1/2)

4) Нахождение производной функции.
y’ = 3/(x+2)².

5) критические точки — их нет, так как производная не может быть равна нулю.
6) промежутки возрастания и убывания функции :
функция только возрастающая на всём промежутке определения, так как производная положительна.
7) экстремумы функции — их нет.
8) найти наибольшее или наименьшее значение xmin = —∞, xmax = +∞.

9) уравнение касательной к точке xо = 1.
yкас = y'(xo)*(x-xo) + y(xo).
y'(xo) = 3/((1+2)²) = 3/9 = 1/3.

y(xo) = (2*1+1)/(1+2) = 3/3 = 1.

укас = (1/3)*(х — 1) + 1 = (1/3)х — (1/3)+1 = (1/3)х + (2/3).
10) Дополнительные точки — в приложении.
11) график — в приложении.
12) область значения функции —∞ < x < 2; 2 < x < +∞.