Представьте в виде суммы произволения 8sin22,5 cos7,5

Вопрос школьника по предмету Математика

Представьте в виде суммы произволения
8sin22,5 cos7,5

Вычислите:

1) sin 105° * sin 75°; 2) 4sin 37,5° * sin 7,5°; 3) 8sin 22,5° * cos 7,5°

__________________________________________________

1 ) sin 105° * sin 75° = (1/2)* (cos(105° -75°) — cos(105°+75°) )=

(1/2)* (cos30°-cos180°) =(1/2)* ( (√3)/ 2 — (-1) ) = (1/2)*((√3) / 2+ 1 ) = (√3+2)/4

— — — — — — —

2 ) 4sin 37,5° * sin 7,5° =2*(cos(37,5° — 7,5°) — cos(37,5° +7,5°) ) =

2*(cos30° — cos45°) =2*( (√3)/2 -(√2) /2) = √3 — √2 .

— — — — — — —

3 ) 8sin 22,5° * cos 7,5° = 4*( sin(22,5°+7,5°) +sin(22,5°-7,5°) ) =

4*( sin30° + sin15° ) = 4*( 1/2 + sin(60 — 45°) ) =

4*( 1/2 + sin60°*cos45°- cos60°*sin45° ) = || cos45°=sin45 =√2 / 2 ||

= 4*( 1/2 + √2 (√3 — 1) / 4 ) = 2 + √6 — √2 .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

P.S. sin15° =sin(45° -30°) = sin45°*cos30° — cos45°* sin30° =

(√2 / 2)*(√3 / 2 -1 / 2) = (√6 — √2) / 4 .

sin15° =√( (1 -cos30°) / 2 ) =√( (1 -√3 /2) / 2 ) =√( (2-√3 ) / 4 ) =

√( (4-2√3 ) / 8 ) =√( (3-2√3+1) / 8 ) =√( (√3 — 1 )² / 8 ) = (√3 — 1) /2√2 =

√2(√3 — 1) /4 = (√6 — √2) / 4 .