Вопрос школьника по предмету Математика
Последовательность цифр устроена следующим образом. Две первые цифры
a и b заданы заранее и не равны нулю. Справа к ним приписываются цифры
произведения ab . Затем справа приписываются цифры числа, полученного
произведением последних двух цифр, и так далее. Например, если первые две
цифры были a = 6 и b = 7 , то получается последовательность
6, 7, 4, 2, 8, 1, 6,…
а) Приведите пример такой последовательности, в которой восемь первых
членов отличны от нуля, а все члены начиная с девятого равны нулю.
б) Докажите, что любая последовательность, построенная таким образом,
с какого-то момента становится периодической (цифры начинают
повторяться в одном и том же порядке).
Ответ учителя по предмету Математика
а) Например,
3 — 5 — 1 — 5 — 5 — 2 — 5 — 1 — 0 — 0 — 0 — 0 — …
(3 * 5 = 15, 1 * 5 = 5, 5 * 5 = 25, 2 * 5 = 10, 1 * 0 = 0…)
б) Произведения двух цифр точно не превышают 99, так что различных произведений точно не больше 100, а пар произведений не более 10000. Рассмотрим первые 20002 произведения, разобьём их на 10001 пару. По принципу Дирихле две пары с какими-то номерами i < j ≤ 10001 совпадут, тогда, поскольку пара произведений однозначно определяет все дальнейшие произведения, то последовательность пар произведений, начиная с
i, будет периодична с периодом j — i, а значит, и последовательность цифр также будет периодична
Похожие вопросы от пользователей