Помогите с задачами по теории вероятности))
1. Есть множество целых чисел от 1 до 30. Наугад выбрали числа, кратные 2, кратные 3, кратные 5. Найти вероятность.
2. В семье 3 детей. Построить схему для 1 случая — старший ребёнок мальчик, для 2 случая — в семье не менее 2 мальчиков.
3. В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Один человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет только один белый. Найти вероятность и в каком отношении будут шансы спорщика.
4. В урне 5 белых и 3 чёрных шара, какова вероятность того, что последний шар будет белый.
5. Подброшены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков 1)равна 5. 2) равна 5, а разность 2. 3)сумма равна 8. 4)сумма равна 8, а произведение 16. 5)сумма меньше 5.

Ответ учителя по предмету Математика

1. Если вероятность того, что случайно выбранное число кратно указанным, то :

P(кратно 2) = 15/30 = 1/2 = 50 процентов — четных чисел ровно половина

P(кратно 3) = (30/3)/30 = 10/30 = 1/3 ~ 33 процента — каждое третье кратно 3, а т.к. 30 делится нацело на 3, то таких чисел будет ровно 10.

P(кратно 5) = (30/5)/30 = 6/30 = 1/5 = 20 процентов —  каждое пятое кратно 5, а т.к. 30 делится нацело на 5, то таких чисел будет ровно 6.

2. 

Не знаю, что такое схема, поэтому просто распишу все, что тут можно получить.

Каждый ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой, т.к. всего детей 3, то возможны 2^3 = 8 вариантов. Эти 8 вариантов равновероятны и составляют полную группу событий. Но они нам не интересны, т.к. их можно свести к 4 основным группам по количеству детей разного пола:

3 девочки

1 мальчик + 2 девочки

2 мальчика + девочка

3 мальчика

При этом очевидно, что две крайних группы состоят всего лишь из одного события, а две средних включают по 3 события(на примере 1 мальчик + 2 девочки: м д д, д м д, д д м). Как мы помним все события равновероятны, т.о. вероятность группы равна сумме вероятностей событий или количеству событий умноженному на 1/8.

P(3 девочки) = 1/8

Р(1 мальчик + 2 девочки) = 3/8

Р(2 мальчика + девочка) = 3/8

Р(3 мальчика) = 1/8

В сумме по-прежнему получаем 1, т.е. ничего не забыли.

P(старший ребенок — мальчик) никак не зависит от других детей и прочего, т.е. она равна 1/2 или 50 процентов.

Второй вариант интереснее и для нахождения его вероятности нам поможет написанное выше.

Очевидно, что не менее 2 в контексте этой задачи  = 2  или 3.

Р(2 мальчика + девочка) = 3/8

Р(3 мальчика) = 1/8

А вероятности этого мы уже нашли, осталось просуммировать.

P(не менее 2 мальчиков) = Р(2 мальчика + девочка)  +Р(3 мальчика) =

3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2 = 50 процентов.

3. Т.к. вытягиваем 3 шара из 6, то кол-во исходов равно

С(3, 6) = 6!/(3! * 3!) = (4 * 5 * 6)/(1 * 2 * 3) = 4 * 5 = 20

Благоприятный исход — выбор 1 белого шара и 2 черных.

С(1, 2) = 2! / (1! * 1!) = 2 — кол-во вариантов выбора 1 белого шара из 2

C(2, 4) = 4! / (2! * 2!) = 6 — кол-во вариантов выбора 2 черных шаров из 4

Т.о. благоприятных вариантов 2 * 6 = 12

P(только 1 белый) = 12/20 = 0.6 или 60 процентов.

4. Условие можно переформулировать как вероятность того, что среди 7 вытащенных будут 3 черных и 4 белых, тогда действуем как в предыдущей задаче.

С(7, 8) = 8!/(7! * 1!) = 8 — общее число исходов

C(3, 3) = 1 — кол-во вариантов выбора 3 черных шаров из 3.

С(4, 5) =  5! / (4! * 1!) = 5 — кол-во вариантов выбора 4 белых шаров из 5.

5 * 1 = 5 — благоприятных исходов

P(последний шар белый) = 5/8 = 0.625 или 62.5 процента.

5. Каждая из костей может выдать 6 вариантов, т.о. общее число вариантов 6 * 6 = 36.

1) сумма равна 5

2 + 3, 3 + 2 — два благоприятных варианта

2/36 = 1/18 ~ 0.056 или 5.6 процента

2) сумма = 5, а разность = 2

x + y = 5

x — y = 2

2x = 7

x = 3.5

y = 1.5

таких значений на костях нет. Вероятность 0 процентов.

3) сумма равна 8

6 + 2, 2 + 6

5 + 3, 3 + 5

4 + 4

5 благоприятных вариантов

5/36 ~ 0.14 или 14 процентов

4) сумма равна 8, произведение = 16

x + y = 8

x * y = 16

16 = 2 * 8 = 4 * 4

Из этих двух вариантов только 4 + 4 дает 8, т.е. всего 1 благоприятный исход и вероятность 1/36 ~ 0.028 или 2.8 процента

5) сумма меньше 5

1 + 1

1 + 2, 2 + 1

2 + 2

4 благоприятных исхода и вероятность 4/36 = 1/9 ~ 0.111 или 11.1 процента.