Помогите, пожалуйста, решить задачи по геометрии 1) В треугольнике MNK медианы MA и NB пересекаются в точке C и образуют угол в 45 градусов.Найти площадь треугольника MNK ,если MA=12 NB=9. 2) В треугольнике АВС угол А равен альфа, угол В равен бета. На стороне ВС отмечена точка Е, так что АЕ=m, угол АЕВ равен гама. Найдите АС 3) В параллелограмме MNKP сторона MN=4, MP=6, NP=2 корня из 7. Найдите МК

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Помогите, пожалуйста, решить задачи по геометрии 1) В треугольнике MNK медианы MA и NB пересекаются в точке C и образуют угол в 45 градусов.Найти площадь треугольника MNK ,если MA=12 NB=9. 2) В треугольнике АВС угол А равен альфа, угол В равен бета. На стороне ВС отмечена точка Е, так что АЕ=m, угол АЕВ равен гама. Найдите АС 3) В параллелограмме MNKP сторона MN=4, MP=6, NP=2 корня из 7. Найдите МК

Ответ учителя по предмету Геометрия

1)   Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒ NC:СВ=6:3, и MC:СА=8:4. Одна из формул площади треугольника S=a•b•sinα•1/2, где а и b — стороны,  α— угол между ними. Sin45°=√2/2,   Тогда Ѕ(ACN)=6•4•√2/2=6√2. Медиана делит площадь треугольника пополам, три медианы делят его на 6 равновеликих треугольника. S(MNK)=6•Ѕ(ACN)=36√2 (ед. площади)

2) В ∆ АЕС  по теореме синусов   АЕ:sin∠С=АС:sin∠АЕC.   Сумма углов треугольника 180°. В ∆ АВС ∠С =180°-(α+ β).  ∠АЕС=180°-γ.  ⇒ m:sin(180°-α- β)= =AC:sin(180°-γ), откуда АС=m•sin(180*-γ)/sin(180*-α-β).

3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. ⇒ В треугольнике МNP отрезок МО — медиана. Формула медианы произвольного треугольника  М=(√(2a²+2b²-c²):2, где а и b — стороны, с — сторона, которую медиана делит. ⇒ МС=2МО=√(32+72-28)=2√19 ед. длины.

Или

 Из ∆ МNP по т.косинусов  NP²=MN²+MP²-2•MN•NP•cosNMP ⇒ MP²=16+36-48•cosNMP ⇒ cosNMP=(28-52):(-48)=1/2

  По т.косинусов МК²= MN²+NK²-(-2•MN•NK•cos∠MNK). Сумма  соседних углов параллелограмма 180° (т.к. МР||NK, MN — секущая, угол NMP и угол MNK- внутренние односторонние). ⇒cosMNK= — cosNMP  ⇒ МК=√(52+24)=2√19 (ед. длины)