помогите, пожалуйста. Надо провести исследование функции с помощью производной и построить график y=2x^4-x^2

Вопрос школьника по предмету Математика

помогите, пожалуйста. Надо провести исследование функции с помощью производной и построить график y=2x^4-x^2

Ответ учителя по предмету Математика

ДАНО

Y(x) = 2*x⁴ — x²

ДУМАЕМ

Какая красивая правильная функция.

ИССЛЕДОВАНИЕ

1 Область определения — непрерывная —  Х∈R или X∈(-∞;+∞)

2.Пересечение с осью абсцисс — Х

Х1 = — √2/2 и Х2 = 0 и Х3 = √2/2

3. Пересечение с осью ординат — У 

Y(0) = 0

4. У(х) = У(-х) —  функция чётная.

5. Первая производная

Y'(x) = 8x³ — 2x

6. Локальные экстремумы в корнях первой производной.

Корни — х1 = -1/2 и х2 = 0 и х3 = 1/2

Ymin(-0.5) = -0.125

Ymax(0) = 0

Ymin(0.5) = — 0.125

7. Монотонность.

Убывает —  Х∈(-∞;-0.5]∪[0;0.5]

Возрастает — X∈[-0.5;0]∪0.5;+∞)

8. Поведение на бесконечности.

Y(-∞) = +∞

Y(+∞) = + ∞

9. Вторая производная

Y» = 24x² -2 

10 Точки перегиба —  корни второй производной.

Y» = 12х²- 1 = 0 

х1,2 = +/- 0,289

11. График прилагается.