Помогите пожалуйста !!! Доказать тождества: 1 . (sinх — siny)²+ (cosx-cosy)²= 4sin²(x-y)/2; 2. (sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)²=4cos²(α-β)/2; 3. cos² (α+β) — cos²(α-β)= — sin2α * sin2β; 4. sin² (x+y) — sin²(x-y)= sin2x * sin2y.

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Помогите пожалуйста !!!
Доказать тождества:

1 . (sinх — siny)²+ (cosx-cosy)²= 4sin²(x-y)/2;

2. (sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)²=4cos²(α-β)/2;

3. cos² (α+β) — cos²(α-β)= — sin2α * sin2β;

4. sin² (x+y) — sin²(x-y)= sin2x * sin2y.

Ответ учителя по предмету Алгебра

Доказать тождества :

1 .
(sinх — siny)² + (cosx-cosy)²  = 4sin²(x-y)/2 
—

(sinх — siny)²+(cosx — cosy)² =

(sin²х -2sinx*siny +sin²y) + (cos²x -2cosx*cosy+ cos²y) =

(sin²х +cos²x) +(sin²y+cos²y) -2(cosx*cosy+sinx*siny) =2 — 2cos(x-y) =

2(1 —
cos(x-y) )  = 2*2sin²(x-y)/2  
=  
4sin²(x-y)/2 .

мо
жно доказать и так
 :
(sinх — siny)²+(cosx-cosy)²=(2sin(x-y)/2 *cos(x+y)/2 )²+(-2sin(x-y)/2 *sin(x+y)/2 )²=

 4sin²(x-y)/2 *(cos² (x+y)/2 +sin² (x+y)/2 ) = 4sin²(x-y)/2 *1 =  4sin
²(x-y)/2 .

=======
2.
 (sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)² = 4cos²(α-β)/2
—

(sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)² = 

(sin²α+2sinα*sinβ+sin²β)+(cos²α+2cosα*cosβ+cos²β)=                         (sin²α +cos²α) +(sin²β+cos²β) +2(cosα*cosβ+sinα*sinβ) =2
 + 2cos(α-β)  
=
2(1 +cos(α-β) )  = 2*2cos²(α-β)/2 
= 4cos²(α-β)/2
 .

или по другому:
(sinα+ sinβ)² + (cosα+cosβ)²  =

(2sin(α+β)/2 *cos(α-β)/2 )² +(2cos(α-β)/2 *cos(α+β)/2 )² =

 4cos²(α-β)/2 *(sin² (α+β)/2 +cos² (α+β)/2 ) = 4cos²(α-β)/2 .

=======
3.
cos² (α+β) — cos²(α-β) = — sin2α * sin2β ; 
—

cos² (α + β) — cos²(α — β) = (1+cos2(α+β) )/2 — (1+cos2(
α-β) ) /2 = 
( cos(2α+2β) — cos(2α-2β) )/2 =
— sin2α * sin2β .

* * *  cosA — cosB = -2sin(A — B)/2* sin(A+B)/2  * * *
 мо
жно доказать и так
cos² (α+β) — cos²(α-β) = (cos (α+β) — cos(α-β) )* 
 (cos (α+β) + cos(α-β) )  =

= (-2sinβsinα) * (2cosαcosβ)= — (2sinαcosα)*(2sinβcosβ) = — sin2α * sin2β.

=======

4.
sin² (x+y) — sin²(x-y)= sin2x * sin2y.
—

sin² (x+y) — sin²(x-y) =(1 — cos2(x+y) )/2  — (1 -cos2(
x — y) )/2 =
(cos(2x — 2y) — cos(2
x +2y) ) /2 = -sin(-2y)*sin2x = sin2x*sin2y .


* * * У ДАЧИ  !!!  * * *