Пожалуйста срочно, не игнорьте прошу!
Нужна помощь с задачами по геометрии, даю 99 баллов!
1. Центри граней правильного тетраедра соеденили, получив другой тетраедр. Во сколько раз отличается площадь полной поверхности нового и старого тетраедра?
2. Сувенир имеет площадь прозрачного крустального октаедра, в которий помещен цельний серебряний кубик так, что вершини куба являются центрами октаедра. Найдите отношение обьемов крустальной части и серебреной части сувенира.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Пожалуйста срочно, не игнорьте прошу!
Нужна помощь с задачами по геометрии, даю 99 баллов!
1. Центри граней правильного тетраедра соеденили, получив другой тетраедр. Во сколько раз отличается площадь полной поверхности нового и старого тетраедра?
2. Сувенир имеет площадь прозрачного крустального октаедра, в которий помещен цельний серебряний кубик так, что вершини куба являются центрами октаедра. Найдите отношение обьемов крустальной части и серебреной части сувенира.

Ответ учителя по предмету Геометрия

В правильном октаэдре есть три плоскости диагональной симметрии. На рисунке это АВСД, АЕСН и BEDH. Все  они квадраты со стороной а.

Все грани октаэдра — правильные треугольники.

В треугольнике АВЕ ЕК — высота и медиана, точка Р — центр треугольника, значит ЕР:РК=2:1 ⇒ ЕР:ЕК=2:3.

РТ║КМ, значит треугольники ЕКМ и ЕРТ подобны. В них РТ/КМ=ЕР/ЕК=2/3,

РТ=2КМ/3=2а/3.

На втором рисунке изображена вершинная проекция из вершины Е на плоскость АВСД. Точки Р, R, T, S — центры боковых граней. Боковые грани — правильные треугольники, значит PRTS — квадрат и грань куба.

Сторона куба b=PS=PT/√2=a√2/3.

Рассмотрев проекции на другие диагональные сечения, сделав такие же построение, можно убедиться, что наш кубик действительно куб. 

Можно доказать это по-другому (не обязательно).

Если предположить, что вписан действительно куб, то FO — половина его высоты. 

ЕО²=ЕК²-КО²=3а²/4-а²/4=а²/2,

ЕО=а/√2=а√2/2.

В подобных треугольниках EPT и EKM FO=EO/3=а√2/6.

Высота кубика: 2FO=a√2/3=b. Доказано.

Объём октаэдра: Vo=2·Sh/3=2·AB²·EO/3=2a²·a√2/6=a³√2/3.

Объём куба Vк=b³=2a³√2/27.

Vo:Vк=а³√2·27/(2а³√2·3)=9/2=9:2.

 

Соответственно отношение объёма хрустальной и серебряной частей 7:2 — это ответ.