Площадь треугольника ABC равна Q.Найдите площадь треугольника AOB1,где O-точка пересечения медиан треугольника ABC,а B1-середина стороны AC.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Площадь треугольника ABC равна Q.Найдите площадь треугольника AOB1,где O-точка пересечения медиан треугольника ABC,а B1-середина стороны AC.

Ответ учителя по предмету Геометрия

 Есть теорема о том, что Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Поэтому можно сразу сказать, что искомая площадь равна 1/6 площади исходного треугольника. 

_______

     В ∆АВВ1 и ∆В1ВС основания равны, высота общая. По формуле S=a•h/2 их площади равны. ⇒ S∆ ABB1=1/2 S∆ ABC.

 По т. о медианах треугольника точка пересечения двух его  медиан  делит каждую из этих медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. 

⇒ в ∆ АОВ1 основание ОВ1 в два раза меньше основания ВО  в ∆ АОВ. 

Высоты обоих треугольников, проведенные к основаниям,  совпадают. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению  длин их оснований. 

⇒S∆АОВ1:S∆AOB=1/2 , и площадь треугольника АОВ1 равна половине площади ∆ АОВ, или 1/3 половины площади ∆ АВО. 

А т.к. S ∆ ABB1=1/2 S ∆ ABC, то S ∆ АОВ1=1/6 площади ∆ АВС=Q/6