площадь прямоугольного треугольника равна 8 см^2.какими должны быть длины сторон треугольника,чтобы сумма площадей квадратов,построенных на его сторонах,была наименьшей

Вопрос школьника по предмету Математика

площадь прямоугольного треугольника равна 8 см^2.какими должны быть длины сторон треугольника,чтобы сумма площадей квадратов,построенных на его сторонах,была наименьшей

Ответ учителя по предмету Математика

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S=ab/2=8

Отсюда b=16/a.

Гипотенуза c=√(a^2+b^2)= √(a^2+256/a^2)

Сумма площадей квадратов, построенных на сторонах

P=a^2+b^2+c^2=2c^2=2(a^2+256/a^2)

Найдём минимум, приравняв производную к нулю.

P’=2(2a+256(-2)/a^3)=0

(2a^4-2*256)/a^3=0

a^4=256=2^8

a=2^2=4: b=16/a=16/4=4

Ответ: когда катеты a=b=4, c=4√2