плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен α.Найдите двугранные углы между плоскостью основания и боковой гранью, а также между смежными и боковыми гранями

Ответ учителя по предмету Математика

Пусть АВ=ВC=CD=AD=a

SK-биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника ВSC.

Из прямоугольного треугольника

SBK

SK=a/2tg(α/2);

SB=a/2sin(α/2).

Из прямоугольного треугольника SOK

cos∠SKO=OK/SK=(a/2)/(a/2tg(α/2))  ⇒∠SKO=arccos(tg(α/2)).

Строим линейный угол двугранного угла между плоскостями

SAD  и  ADC.

Проводим СM⊥CD     и    АМ⊥СВ

∠МАС — линейный угол двугранного угла между плоскостями

SAD  и  ADC.

Из прямоугольного треугольника ОМА:

sin∠ОМА=ОА/МА

ОА=asqrt(2)/2

Из прямоугольного треугольника SМА

МА=SA·cosα =(acosα)/(2sin(α/2)).

sin∠ОМА=ОА/МА=(asqrt(2)/2)/(acosα)/(2sin(α/2))=sqrt(2)sin(α/2)/cosα

∠ОМА=arcsin(sqrt(2)sin(α/2)/cosα)

∠DMA=2arcsin(sqrt(2)sin(α/2)/cosα)