Первый бельчонок похвастался, что нашёл a орехов, а второй сообщил, что
он нашёл b орехов. Оказалось, что наименьшее общее кратное чисел a и b
равняется 1000, а каждое из чисел a, b меньше 1000. Сколько существует
вариантов для количеств орехов, которые нашли первый и второй бельчонок?

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Первый бельчонок похвастался, что нашёл a орехов, а второй сообщил, что
он нашёл b орехов. Оказалось, что наименьшее общее кратное чисел a и b
равняется 1000, а каждое из чисел a, b меньше 1000. Сколько существует
вариантов для количеств орехов, которые нашли первый и второй бельчонок?

Ответ учителя по предмету Алгебра

Понятно, что а и b должны быть делителями числа 1000=2³·5³. Также понятно, что если НОК(а,b)=1000, то по крайней мере одно из чисел а или b обязательно должно делиться на 2³=8 и по крайней мере одно из них обязательно должно делиться на 5³=125. Из условия, что а,b<1000 следует, что ровно одно из них делится на 8 и ровно одно делится на 125. Значит для a возможны варианты а=8, а=8·5=40, а=8·5²=200. В этом случае им будет соответствовать, например b=125. А также варианты а=125, а=125·2=250, а=125·4=500. В этом случае им соответствует, например b=8. Итак, для каждого параметра а и b возможны 6 значений: 8, 40, 125, 200, 250, 500. 

P.S. Если в вопросе подразумевалось количество различных неупорядоченных пар (а,b) то их 9:

(125, 8), (125, 40), (125, 200)

(250, 8), (250, 40), (250, 200)

(500, 8), (500, 40), (500, 200).

Соответственно, если надо упорядоченные пары, которые получаются из каждой пары перестановкой, то их 18.