Отметьте среди следующих уравнений единственное, которое разрешимо в целых числах:

1) 1001x + 77y = 1

2) 1001x + 707y = 1

3) 1001x + 171y = 1

4) 1001x + 7711y = 1

5) 1001x + 1177y = 1

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Отметьте среди следующих уравнений единственное, которое разрешимо в целых числах:

1) 1001x + 77y = 1

2) 1001x + 707y = 1

3) 1001x + 171y = 1

4) 1001x + 7711y = 1

5) 1001x + 1177y = 1

Ответ учителя по предмету Алгебра

ах+bу=с

Диофантово уравнение является неразрешимым в целых числах, если наибольший общий делитель а и b не делит с. Справедливо и обратное: если наибольший общий делитель а и b делит с, то уравнение разрешимо в целых числах.

В данных примерах с=1. Делителем 1 является только 1. Поэтому, коэффициенты а и b должны быть взаимно простыми числами.

1) а=1001 и b=77 делятся на 77, но с=1 не делится на 77. Неразрешимо в целых числах.

2)  а=1001 и b=707 делятся на 7, но с=1 не делится на 7. Неразрешимо в целых числах.

3) а=1001 и b=171 взаимно простые, их общий делитель 1 и с=1 делится на 1. Разрешимо в целых числах.

4) а=1001 и b=7711 имеют наибольший общий делитель 701, но с=1 не делится на 701. Неразрешимо в целых числах.

5) а=1001 и b=1177 имеют наибольший общий делитель 107, но с=1 не делится на 107. Неразрешимо в целых числах.

Ответ: в целых числах разрешимо только уравнение 3.