Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною √(√(15)-√(3)). Одна з бічних граней є рівностороннім трикутником і перпендикулярна до площини основи. Визначити бічну поверхню піраміди.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною √(√(15)-√(3)). Одна з бічних граней є рівностороннім трикутником і перпендикулярна до площини основи. Визначити бічну поверхню піраміди.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Дано : 

DABC пирамида ;

ΔABC и  ΔDAB  равносторонние ; 

AC= BC  =AB = DA = DB =√(
√15 -√3 ) ;
(DAB) ⊥ 
(ABC) .
————————-

S(бок) — ?

 S(бок) = S(ΔDAB) +S(ΔDAC)+S(ΔDBC).

(DAB) ⊥ (ABC) ⇒CH ⊥AB  , DH ⊥ AB   и  ∠CHD =90°.

 ΔABC =ΔAB
D 

AH = BH =a/2 ; CH =DH =√(a²  -(a/2)² ) =√(a²  -a²/4 )  =(a√3) /2 .

По теореме Пифагора  из ΔCHD :
CD =√(CH² +DH²) =√(2CH²)= CH√2 =(a√3) /2 *√2 =(a√6) /2 .

 ΔDAC= ΔDBC_равнобедренные .  

Вычислим площадь треугольника DAC. Проведем  высоту AM :   AM ⊥ DC 

Эта высота одновременно и медиана  DM =CM =CD/2 = (
a√6) /4.
Из ΔCAM  :

AM =√(AC² — CM²) = √(a² — 6a² /16) =(a
√10) /4.
S(ΔDAC) =CD*AM /2 = CM*AM  =  (a√6) /4 *(a√10) /4 =a²√(60)/16 =(a
²√15)/8.


 S(бок) = S(ΔDAB) +S(ΔDAC)+S(ΔDBC) = AB*DH /2 +2S(ΔDAC
) =
(a²√3)/4 +(a²√15)/4 =a² (√5+1)*(√3)/ 4 =(√(√15 -√3) )² *
 (√5+1)*(√3)/ 
4=
(√15 -√3) * (√5+1)*(√3)/ 4 = √3(√5-1)(√5+1)*√3 / 
4 =3*(5-1)/4 = 3.


ответ : 
3  ед.площади .

  .