Основание прямой призмы равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании a. Диагональ боковой грани, содержащей основание треугольника, образует с боковым ребром угол f. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Основание прямой призмы равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании a. Диагональ боковой грани, содержащей основание треугольника, образует с боковым ребром угол f. Найдите объём цилиндра, вписанного в призму

Ответ учителя по предмету Геометрия

Дано: АВСА₁В₁С₁ — прямая призма,

           ΔАВС: АВ = ВС = b, ∠ВАС = α,

           ∠АА₁С = φ.

           Цилиндр вписан в призму.

Найти: Объем цилиндра.

Решение:

Если цилиндр вписан в призму, то основания цилиндра вписаны в основания призмы, а высоты равны.

Радиус основания цилиндра — радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Пусть ВН — высота ΔАВС. А так как он равнобедренный, то и медиана.

ΔВСН: СН = ВС · cosα = b · cosα.

AH = CH = b·cosα

AC = 2b·cosα

Центр вписанной окружности — точка О — точка пересечения биссектрис.

АО — биссектриса угла А, ОН — радиус вписанной окружности,  ∠ОАН = α/2.

ΔАОН:   ОН = АН · tg(α/2)

              r = b·cosα · tg(α/2)

ΔAA₁C: AA₁ = AC · ctg φ — высота призмы и цилиндра,

            h = 2b·cosα · ctgφ

Vцил = πr²h

Vцил = π ·  (b·cosα · tg(α/2))² ·  2b·cosα · ctgφ

Vцил = 2b³π·cos³α · tg²(α/2) · ctgφ