Основание пирамиды прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найти высоту пирамиды и площадь полной поверхности.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

Основание пирамиды прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найти высоту пирамиды и площадь полной поверхности.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами, то вершина этой пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.

Гипотенуза треугольника АВС по Пифагору равна ВС=√(АВ²+АС²)=√(5²+12²)=13.

Площадь основания равна So=(1/2)*AB*AC или

So=(1/2)*5*12=30.

Радиус вписанной окружности равен r=S/p, где S — площадь треугольника, р — его полупериметр.

r=30/15=2.

Тогда высота пирамиды равна SO=r*tg60° или

SO=2*√3 ед.

Высота граней пирамиды — гипотенуза, равна 2r=4, так как  в прямоугольном треугольнике, образованном высото1 пирамиды, радиусом вписанной окружности (катеты) и высотой грани (гипотенуза) катет «r»лежит против угла 30°.Тогда площади боковых граней равны:

S1=(1/2)*12*4=24,

S2=(1/2)*5*4=10,

S3=(1/2)*13*4=26, а площадь боковой поверхности равна

S=S1+S2+S3 или S=24+10+26=60 ед².

Ответ: высота пирамиды 2√3 ед., S=60 ед².