окружность радиуса 4 корень из 3 описана около правильного многоугольника со стороной 12 см. найдите число сторон правильного многоугльника

Вопрос школьника по предмету Геометрия

окружность радиуса 4 корень из 3 описана около правильного многоугольника со стороной 12 см. найдите число сторон правильного многоугльника

Ответ учителя по предмету Геометрия

Сторона вписанного правильного многоугольника образует с радиусами описанной около него окружности равносторонний треугольник.

В нашем случае это треугольник с боковыми сторонами, равными 4√3 и основанием, равным 12см. По теореме косинусов найдем угол при вершине этого треугольника:

Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. (α — между b и c). В нашем случае:

Cosα=(2*(4√3)²-12²)/(2*4√3)²=-48/(2*48)=-(1/2).

То есть центральный угол тупой и равен 120°.

Следовательно, число сторон нашего вписанного многоугольника равно 360°/120°=3. Это ответ.

P.S. Можно проверить по формуле радиуса описанной около правильного треугольника окружности: R=(√3/3)*a. В нашем случае

R=(√3/3)*12=4√3, что соответствует условию задачи.