Не використовуючи формулу коренів, знайди корені квадратного рівняння x2+29x+180=0.

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Не використовуючи формулу коренів, знайди корені квадратного рівняння x2+29x+180=0.

Ответ учителя по предмету Алгебра

Ответ:

x 2-29x+180=0  

Было найдено два решения :

x = 20

x = 9

Пошаговое решение :

Шаг 1 :

Попытка факторинга путем разделения среднего срока

1.1  Факторинг x 2-29x+180  

Первый член равен,  x 2  его коэффициент равен  1  .

Средний срок составляет,  — 29x  его коэффициент составляет  -29  .

Последний член, «константа», равен  +180  

Шаг-1 : умножьте коэффициент первого члена на константу  1 • 180 = 180  

Шаг-2 : Найдите два фактора 180, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен  -29  .

     -180    +    -1    =    -181  

     -90    +    -2    =    -92  

     -60    +    -3    =    -63  

     -45    +    -4    =    -49  

     -36    +    -5    =    -41  

     -30    +    -6    =    -36  

     -20    +    -9    =    -29 Вот и все.

Шаг 3 : переписать многочлен разделить на среднесрочную перспективу, используя два фактора нашли в шаге 2 выше, -20 и -9

                    х2 — 20х — 9Х — 180

Шаг 4 : Складываем первые 2 условия, вытаскивая, как факторы :

                   х • (х-20)

складываем последние 2 условия, вытаскивая общие факторы :

                   9 • (х-20)

Шаг 5 : складываем четыре круга Шаг 4 :

                   (х-9) • (х-20)

, который является желаемым факторизации

Уравнение в конце шага 1 :

(x-9) • (x — 20) = 0  

Шаг 2 :

Теория-корни продукта :

2.1  произведение нескольких членов равно нулю.

Теперь мы будем решать каждый член = 0 отдельно  

, другими словами, мы будем решать столько уравнений, сколько существует членов в произведении  

любое решение члена = 0 решает также произведение = 0.

Решение одного переменного уравнения :

2.2  решить : x-9 = 0  

Добавить 9 к обеим сторонам уравнения:  

                    x = 9

Решение одного переменного уравнения :

2.3  решить : x-20 = 0  

Добавить 20 к обеим сторонам уравнения :  

                    x = 20

.  

Для любой параболы Ax 2 +Bx+C координата x вершины задается через-B / (2A) . В нашем случае координата x равна 14.5000  

Подключаясь к формуле параболы 14.5000 для x, мы можем вычислить координату y :  

y = 1.0 * 14.50 * 14.50 — 29.0 * 14.50 + 180.0

или y = -30.250

Парабола, графическая вершина и X-перехваты :

Корневой участок для : У = Х2-29-кратным+180

оси симметрии (пунктирная) {х}={14.50}

вершин в {Х,Y} = {14.50,-30.25}

х -перехватывает (корень) :

корень 1 в {Х,Y} = { 9.00, 0.00}

корень 2 в {Х,Y} = {20.00, 0.00}

Решите квадратичное уравнение, заполнив квадрат

3.2  решение x 2-29x+180 = 0 путем заполнения квадрата .

Отнимите  180  от обеих сторон уравнения :

  х2-29 раз = -180

сейчас умно: возьмите коэффициент х , который  29 , делим на два, что  29/2 , и, наконец, это дает  841/4  

добавить  841/4 с обеих сторон :

с правой стороны мы имеем :

  -180 + 841/4 или, (-180/1)+(841/4)

Общим знаменателем двух дробей 4 сложения (-720/4)+(841/4) дает 121/4

поэтому добавлять к обеим сторонам, мы, наконец, получаем :

  х2-29 раз+(841/4) = 121/4

добавление  841/4 завершил левой стороны в идеальный квадрат :

  х2-29x+(841/4)  =

 (x-(29/2)) • (x-(29/2)) =

 (x-(29/2)) 2

вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу. Поскольку

 x 2-29x+(841/4) = 121/4 и

 x 2-29x+(841/4) = (x-(29/2)) 2

, то, согласно закону транзитивности,

 (x-(29/2)) 2 = 121/4

мы будем называть это уравнение эквалайзером. #3.2.1

принцип квадратного корня говорит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из

  (x-(29/2)) 2  равен

  (x-(29/2)) 2/2 =

 (x-(29/2)) 1 =

  x-(29/2)

теперь, применяя принцип квадратного корня к эквалайзеру. #3.2.1 получаем:

  x-(29/2) = √ 121/4

добавляем  29/2  к обеим сторонам, чтобы получить:

 x = 29/2 + √ 121/4

Поскольку квадратный корень имеет два значения, один положительный, а другой отрицательный

 x 2-29x + 180 = 0

имеет два решения:

 x = 29/2 + √ 121/4

или

 x = 29/2 — √ 121/4

обратите внимание, что √ 121/4 можно записать как

 √ 121 / √ 4, что составляет 11 / 2

Решите квадратичное уравнение, используя квадратичную формулу

3.3  решение x 2-29x+180 = 0 по квадратичной Формуле .

По квадратичной Формуле, х , раствор для топор2+ВХ+с = 0  , Где А, B и с — числа, часто называемых коэффициентов, определяется по формуле :

                                     

— Б ± √ Б2-4AC

х = ———

2А

в нашем случае а = 1

Б = -29

С = 180

соответственно Б2 — 4AC =

841 — 720 =

121

применение квадратичной формулы :

              29 ± √ 121

х = ——

2

может √ 121 быть упрощена ?

— Да ! Первичная факторизация 121 составляет

  11 * 11  

, Чтобы иметь возможность удалить что-то из-под радикала, должно быть  2  экземпляра этого (потому что мы берем квадратный т. е. второй корень).

√ 121 = √ 11•11 =

± 11 • √ 1 =

± 11

, Так что теперь мы ищем:

          х = ( 29 ± 11) / 2

два реальных решения:

х =(29+√121)/2=(29+11)/2= 20.000

или:

Х =(29-√121)/2=(29-11)/2= 9.000

Было найдено два решения :

x = 20

x = 9

Объяснение: