Найти производную : у=tg4x/sin2x

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Найти производную : у=tg4x/sin2x

Ответ учителя по предмету Алгебра

Найти производную : у=tg4x/sin2x
решение:
Можно сразу найти производную дроби

у’=(tg(4x)/sin(2x))’ =((tg(4x))’ sin(2x) — tg(4x)(sin(2x))’)/sin²(2x)=

=((4x)’sin(2x)/cos²(4x) — tg(4x)*cos(2x)*(2x)’)/sin²(2x)=

=(4sin(2x)/cos²(4x) — 2tg(4x)*cos(2x))/sin²(2x)

Или преобразовать исходную функцию

у=tg4x/sin2x =sin(4x)/(sin(2x)*cos(4x)) =2sin(2x)*cos(2x)/(sin(2x)*cos(4x))=

=2cos(2x)/cos(4x)

И теперь найти производную дроби

y’ = (2cos(2x)/cos(4x))’ =2((cos(2x))’*cos(4x)-cos(2x)*(cos(4x))’ /cos²(4x)=

= 2(-2sin(2x)*cos(4x)+4sin(4x)cos(2x)) /cos²(4x)

Возможно исходный вариант  функции y =tg^4(x)/sin²(x)

Тогда также берем как производную дроби

y’ =(tg^4(x))’*sin²(x) -tg^4(x)*(sin²(x))’ /sin^4(x)= 

=(4tg³(x)*sin²(x)/cos²(x) -tg^4(x)*2sin(x)*cos(x)) /sin^4(x)