Найдите наибольший остаток числа 3^(2n+2)+8n−6 при делении на 16, где n — любое натуральное число.

Вопрос школьника по предмету Алгебра

                          Найдите наибольший остаток числа 3^(2n+2)+8n−6 при делении на 16, где n — любое натуральное число.

Ответ учителя по предмету Алгебра

3.

В действительности при любом натуральном n остаток равен 3. Докажем это по индукции:

База. n = 1: 3^4 + 8 — 6 = 83 даёт остаток 3 при делении на 16.

Переход. Пусть при n = k выражение даёт остаток 3. Найдём остаток при n = k + 1.

3^(2(k + 1) + 2) + 8(k + 1) — 6 = 9 * (3^(2k + 2) + 8k — 6) — 72k + 54 + 8k + 8 — 6 = 9 * (3^(2k + 2) + 8k — 6) — 64k + 56 = …

По предположению индукции выражение в скобках равно 16m + 3 для какого-то целого m. 

… = 9 * (16m + 3) — 64k + 60 = 144m + 27 — 64k + 56 = 16(9m — 4k + 5) + 3

Очевидно, это выражение даёт остаток 3 при делении на 16, индукционный переход доказан.

Тогда по принципу математической индукции выражение дает остаток 3 при любом натуральном n.