К окружности с центром О из точки А вне окружности проведены две касательные АВ и АС. Отрезок, соединяющий точки касания, делит отрезок АО пополам. Найдите угол ВАС.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

К окружности с центром О из точки А вне окружности проведены две касательные АВ и АС. Отрезок, соединяющий точки касания, делит отрезок АО пополам. Найдите угол ВАС.

Ответ учителя по предмету Геометрия

Отрезки касательных из одной точки до точки касания с окружностью равны. По свойству радиуса, проведенного в точку касания, ОВ⊥ВА;  ОС⊥СА

∆ АВО=∆ АСО  по 3-м сторонам ( по каким — укажите) 

∆ ВАС — равнобедренный, ∠ ВАМ=∠САМ, 

АМ биссектриса, высота, медиана ∆ ВАС  и перпендикулярна ВС. 

АМ=МО по условию, следовательно, ВМ — медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, и 

ВМ=АМ=ОМ (свойство), ⇒ ВС=АО

Четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и при пересечении делятся пополам — квадрат. 

⇒ 

∠ВАС=90°