Кащей загадал три двузначных натуральных числа: a, b и c. За ход Иван Царевич называет Кащею три натуральных числа X, Y , Z, какие хочет, и Кащей сообщает Ивану сумму aX + bY + cZ. Как Ивану отгадать загаданные числа, сделав всего один ход? б) (4 балла) Сможет ли Иван отгадать загаданные числа всего за два хода, если они не обязательно двузначные (но натуральные)?

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Кащей загадал три двузначных натуральных числа: a, b и c. За ход Иван Царевич называет Кащею три натуральных числа X, Y , Z, какие хочет, и Кащей сообщает Ивану сумму aX + bY + cZ. Как Ивану отгадать загаданные числа, сделав всего один ход?
б) (4 балла) Сможет ли Иван отгадать загаданные числа всего за два хода, если они не обязательно двузначные (но натуральные)?

Ответ учителя по предмету Алгебра

а) X=10000; Y=100; Z=1. Если a=a_1a_2; b=b_1b_2; c=c_1c_2 (это не произведения, а двузначные числа)⇒

 

      aX+bY+cZ=a_1a_2b_1b_2c_1c_2,

то есть первые две цифры этого числа дают нам a, вторые два — b, третьи — c.

б) Первый ход: X=Y=Z=1⇒aX+bY+cZ=a+b+c. Если полученное число имеет k знаков ⇒ числа a, b и c имеют не более k знаков.

Второй ход: X=10^(2k); Y=10^k; Z=1. В результате, как и в п. а), удается растащить a, b и c по разным разрядам. Рассмотрим сначала k младших разрядов; они дают число c (если сначала идут нули, их можно не учитывать); следующие k  разрядов дадут b (снова нули в начала не учитываем); остальные цифры дают a. 

Замечание. Возможные нули справа отбрасывать не надо!